2025년 2학기 계량분석 강의자료

카이제곱 적합도 검정

1. 카이제곱 검정 개요

• 정의:
  • → 질적 변수(예: 성별, 학점, 선호도)의 빈도(횟수)나 비율을 비교할 때 사용하는 검정
• 원리:
  • 실제로 관찰된 값(Observed, O)
  • 이론적으로 기대되는 값(Expected, E)
  • 두 값이 얼마나 차이가 나는지 계산 → 그 차이가 단순한 우연인지, 아니면 의미 있는 차이인지 확인
• 적합도 검정(Goodness of Fit):
  • → 한 개의 질적 변수에 대해 관찰된 분포가 이론적 분포와 잘 맞는지 검정하는 방법

📌 쉽게 말해:

2. 적합도 검정 예제

문제:
지난 학기 학점 비율: A=20%, B=30%, C=50%
→ 이러닝 도입 후 200명 성적: A=54, B=48, C=98
→ 5% 유의수준에서 차이가 있는지 검정

(1) 가설 설정

• H₀ (귀무가설): A:B:C = 2:3:5 (변화 없음)
• Hₐ (연구가설): A:B:C ≠ 2:3:5 (변화 있음)

(2) 기대빈도(E) 계산

• 전체 학생 200명 × 각 비율
• A: 200×0.2=40
• B: 200×0.3=60
• C: 200×0.5=100

(3) 카이제곱(χ²) 계산

공식:

$$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$$

대입:

• A: (54-40)² / 40 = 4.9
• B: (48-60)² / 60 = 2.4
• C: (98-100)² / 100 = 0.04
• 합계: χ² = 7.34

(4) 결론 도출

• 자유도(df) = 범주 수 - 1 = 3-1 = 2
• 유의수준 0.05에서 χ² 임계값 = 5.991
• 계산값 7.34 > 5.991 → 귀무가설 기각

카이제곱 독립성 검정

1. 독립성 검정 개요

• 정의:
  • 두 개의 질적 변수가 서로 관련이 있는지, 아니면 독립적인지 확인하는 방법
• 원리:
  • 두 변수를 교차표(Contingency Table, 분할표)로 정리
  • 각 셀의 관찰빈도(O)와 기대빈도(E)를 비교
  • O와 E의 차이가 단순한 우연인지, 아니면 실제 관계가 있는지를 검정
• 가설:
  • 귀무가설(H₀): 두 변수는 독립이다 (관계 없음)
  • 연구가설(Hₐ): 두 변수는 독립이 아니다 (관계 있음)

📌 예시 비유:

2. 독립성 검정 예제

문제:
교육 수준과 결혼 생활 만족도의 관계를 보기 위해 1,000명 조사 결과:

→ 5% 유의수준에서 두 변수가 독립적인지 검정

(1) 기대빈도(E) 계산

공식: $E_{ij} = \frac{R_i \times C_j}{N}$

R: 행 합계, C: 열 합계, N: 총 합계

• 고졸, 만족: (300×650) / 1000 = 195
• 고졸, 불만족: (300×350) / 1000 = 105
• 전문대, 만족: (420×650) / 1000 = 273
• ...

(2) Python 실습

import pandas as pd
from scipy.stats import chi2_contingency
import numpy as np

# 데이터프레임 생성
data = {
    '만족': [170, 300, 180],
    '불만족': [130, 120, 100]
}
df = pd.DataFrame(data, index=['고졸 이하', '전문대 졸업', '4년제 이상'])

print("관찰 빈도표:")
print(df)
print("-" * 30)

# 카이제곱 독립성 검정
# chi2: 카이제곱 통계량, p: p-value, dof: 자유도, expected: 기대 빈도
chi2, p, dof, expected = chi2_contingency(df)

print(f"카이제곱 통계량: {chi2:.4f}")
print(f"p-value: {p:.4f}")
print(f"자유도: {dof}")
print("\n기대 빈도표:")
print(pd.DataFrame(expected, index=df.index, columns=df.columns))

3. 결과 해석

• 예상 출력:
  • 카이제곱 통계량: 32.7481
  • p-value: 0.0000
• 결론:
  • p-value(0.0000) < 유의수준(0.05) 이므로, 귀무가설 기각
  • 교육 수준과 결혼 생활 만족도는 서로 독립적이지 않다. 즉, 관계가 있다.